Теорема о счетном объединении

Пусть $A = \{A_{i} \mid i \in I\}$, где мощность $I$ и любого множества $A_{i}$ не превосходит $\aleph_0$. Тогда $|\bigcup_{i \in I} A_{i}| \leq \aleph_0$.

Запишем элементы каждого множества $A_{i}$ в виде последовательности (поскольку $|A_{i}| \leq \aleph_0$): $$A_{i} = \{a_{i1}, \dots, a_{in}, \dots\}$$ Выпишем элементы объединения $\bigcup_{i \in I} A_{i}$ в последовательность, отсортировав все $a_{ij}$ сначала по сумме индексов, а затем лексикографически. Таким образом, мы построили отображение элементов объединения на множество пар индексов $(i, j)$, которое счетно, что и доказывает, что мощность объединения не превосходит $\aleph_0$. $\square$